Soit \(\mathcal M_n({\Bbb R})\) l'ensemble des matrices carrées de taille \(n\)
Vérifier que l'ensemble des matrices $$S=\{A_{ij}\subset\mathcal M_n({\Bbb R})\mid i,j\in\{1,\dots,n\}\}$$ contenant \(1\) sur la position \((ij)\) et \(0\) ailleurs forme une base de \(\mathcal M_n({\Bbb R})\)

Nbre d'éléments de \(S\)
Par récurrence, \(S\) contient \(n^2\) matrices

Le système est libre
On affirme que \(S\) est une base de \(\mathcal M_n({\Bbb R})\)
$$0=\sum_{i,j=1}^n\lambda_{ij}A_{ij}=\begin{pmatrix}\lambda_{11}&\dots&\lambda_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda_{n1}&\dots&\lambda_{nn}\end{pmatrix}\implies\forall i,j,\quad\lambda_{ij}=0$$

Le système est de plus générateur \(\to\) base

Soit \(A=(a_{ij})\in\mathcal M_n({\Bbb R})\)
Alors $$A=\sum_{i,j=1}^na_{ij}A_{ij}$$